周回積分が0⇔scalar potentialが存在する

$ \oint\bm T\cdot\mathrm d\bm r=\bm 0\iff\exist\bm\phi;\bm T=\bm\nabla\bm\phi

証明

$ \oint\bm T\cdot\mathrm d\bm r=\bm 0\iff\int_{\partial S}\bm T\cdot\mathrm d\bm r=\bm 0\quad\text{.for }\forall Sと書き換える

$ \partial S上の任意の2点$ \bm a,\bm bで閉曲線$ \partial Sを分割する。２つの線分ができる。

$ \bm a\to \bm bへなぞったとき、$ \partial Sと同じ向きになる線分を$ L_1,もう一方を$ L_2とする

$ \bm 0=\int_{\partial S}\bm T\cdot\mathrm d\bm r=\int_{L_1}\bm T\cdot\mathrm d\bm r-\int_{L_2}\bm T\cdot\mathrm d\bm r

$ \implies \int_{L_1}\bm T\cdot\mathrm d\bm r=\int_{L_2}\bm T\cdot\mathrm d\bm r

$ S,\bm a,\bm bが全て任意だったので、$ L_1,L_2は始点と終点が同じ任意の経路となる。

つまり、$ \bm Tの線積分は始点と終点で一意に決まる

これは$ \bm Tが何らかのscalar potential$ \bm\phiで表されることと同義である

$ \therefore\exist\bm\phi;\bm T=\bm\nabla\bm\phi

$ \bm Tが2階以上のtensorの場合はscalarじゃなくなるから、単にpotentialと呼ぶべきかもtakker.icon

証明が載っている文献

2次元の場合

完全微分方程式の解の存在条件と等しい

3次元の場合